A matematika, a művészetek és egyes természeti jelenségek között teremt meghökkentően szoros kapcsolatot az aranymetszés néven ismert egyszerű aránypár. Egy szakasz vagy mennyiség aranymetszés szerinti felosztásakor a keletkező kisebb darab úgy aránylik a nagyobbhoz, mint a nagyobb az egészhez. Képlettel felírva:  .  Könnyen igazolható, hogy ez csak egyféle felosztás esetén állhat elő. Az arány bel- és kültagjainak szorzata egyenlő, tehát a·(a+b) = b·b. A kifejezést másodfokú egyenletté alakítva a következőt kapjuk: a² + a·b + b² = 0. Ez pedig a megoldóképlet alapján csak az esetben teljesülhet pozitív mennyiségekre. Tehát a keresett arányszám – a nemzetközi gyakorlatban ezt Φ-vel (fi) szokták jelölni. Egyszerű példán illusztrálva: egy 10 cm-es szakasz aranymetszése az egyik végponttól kb. 100·Φ ≈ 62 mm-re található.

A fenti összefüggést már az ókorban ismerték, és használták előszeretettel a képzőművészetekben. Rájöttek ugyanis, hogy az aranymetszéssel osztott távolságok általában kellemes hatást keltenek a szemlélőben. Az ókori Egyiptomban még valószínűleg nem tudatosan alkalmazták a módszert, bár a gizai piramisokon felfedezhetők az aranymetszésre jellemző arányok (ld. az előző számban). A görögök már szilárd matematikai alapokra helyezték építészüket. Az athéni Akropolisz főépítésze, Pheidias a Tympanon tervezésekor számtalan helyen élt az aranymetszés lehetőségével. Már az oszlopcsarnok homlokzatának alakja is egy ún. aranytéglalapra épül. Ennek az a speciális tulajdonsága, hogy az oldalait a-val és b-vel jelölve teljesül rájuk az egyenlőség. Az Akropoliszon található további aranymetszéseket az alábbi ábra mutatja. Az osztópontokat Φ betűk jelölik.

Egyéb képzőművészeti ágakban is fellelhető az aranymetszés esztétikája. Leonardo da Vinci leghíresebb műve, a Mona Lisa több „láthatatlan” aranytéglalapot tartalmaz. A festő a reneszánsz mesterek hagyományait követve több évig dolgozott a képen, így nem kizárt, hogy a kompozíció kialakításakor szántszándékkal alkalmazott matematikai eszközöket. Ez természetesen semmit nem von le a kép művészi értékéből. A világhírű mosoly titokzatossága semmilyen számítással nem magyarázható…

Az állat- és növényvilág megszámlálhatatlan lehetőséget nyújt az aranymetszés megfigyelésére. Az ábrán látható csigaház soron következő eleme például mindig Φ-szerese az előzőnek. A juharlevél formája is több helyen rejtegeti a nevezetes arányt.

Az aranymetszéssel szoros kapcsolatba hozható a püthagoreusok által misztikus tisztelettel övezett, az univerzum jelképének tekintett szabályos ötszög. Kimutatható, hogy e síkidom bármely két metsző átlója az aranymetszés szabályának megfelelően osztja egymást két-két részre. Sőt, az összes átlót megrajzolva a keletkező újabb osztópontok is az eredeti szakaszok Φ-szeresénél találhatók. Az ábra jelöléseivel: . Látható továbbá, hogy az átlók újabb szabályos ötszöget alkotnak – erre pedig ismét teljesülnek az előbbi tulajdonságok.

Az aranymetszés témája szinte kimeríthetetlen, ezt bizonyítja a számtalan ezzel foglalkozó honlap. Érdekes hivatkozások találhatók a geometria.lap.hu oldalon, valamint érdemes ellátogatni a Magyar Elektronikus Könyvtár természettudományokkal foglalkozó részébe, ahol Hámori Miklós Arányok és talányok című könyve található. A következő cikkben fényt derítünk az aranymetszés és a növényvilág kapcsolatának egyik lehetséges okára, valamint megmutatjuk az arány euklideszi szerkesztését.